Dimensiones espaciales y semánticas

La noción de dimensión, propuesta como cuestión para el Seminario de Semiótica de Puebla en 2023, no se limita a los campos de la lingüística (Hjelmslev) y de la semiótica (Greimas y Courtés), citados en el texto de orientación. Esta noción es recurrente en numerosos discursos donde la metáfora del espacio se utiliza como herramienta descriptiva para dar cuenta de dominios que, como la economía o la psicología, no parecen prestarse a ello a priori. Y, sin embargo, funciona relativamente bien cuando evocamos estos dominios semánticos como si poseyeran las cualidades de un espacio. El matemático René Thom (1972) asumía este procedimiento al afirmar que la morfología del espacio continuo es fundamental y que permite pensar el mundo de una manera más adecuada que los modelos que ponen en juego magnitudes discretas.

Esta introducción prepara el terreno: el término dimensión pertenece a un metalenguaje descriptivo, cuyo objeto es un microuniverso semántico cualquiera, y que privilegia la metáfora espacial para describirlo. Considerando la diversidad de los usos del término dimensión, cabe preguntarnos si se trata de una o de varias metáforas espaciales puestas en práctica. Hasta el siglo XVIII, los círculos cultos sólo conocían una geometría para describir el espacio: la heredada de Euclides, redescubierta en el siglo XII a través de traducciones árabes antes de ser reestablecida en latín, en griego y luego en diversas lenguas europeas. A comienzos del siglo XVII, René Descartes introdujo el cálculo en la geometría, traduciendo en cifras los enunciados de Euclides, dotando al espacio de módulos de medida y adoptando convenciones de cálculo formal. Algunas décadas antes, los inicios de una geometría proyectiva habían germinado entre los ingenieros,¹ que levantaban fortificaciones; los cartógrafos, que buscaban la mejor manera de representar en un plano las formas de una tierra esférica,² y los dibujantes, que trazaban perspectivas y anamorfosis.³ El conjunto de estos intentos tenía un carácter práctico que tendía a adoptar una forma teórica.

En otro ámbito matemático, se estaba gestando una revolución conceptual entre quienes practicaban el cálculo aritmético. Desde la antigüedad mesopotámica, se sabía que al multiplicar dos números se obtenía la medida de una superficie,⁴ y al multiplicar tres números, la medida de un volumen. Y desde que los árabes habían adoptado de los indios la notación decimal de los números⁵ y habían perfeccionado algoritmos gráficos para escribir el cálculo del producto de una multiplicación de dos números,⁶ se podía continuar multiplicando aún más. Pero se planteó la cuestión de para qué podía servir la multiplicación de cuatro números: tal operación no tenía más realidad física que un volumen. Entonces, ¿era correcto multiplicar cuatro números? ¿O cinco números, o n números? Detrás de esta pregunta había un doble presupuesto: el mundo en que vivimos tiene tres dimensiones, y la multiplicación sirve para medir el mundo. La cuestión metafísica de las multiplicaciones sucesivas no se resolvió, pero se seguía multiplicando porque se disponía de una técnica para hacerlo. Predominaba una actitud pragmática.

Las tres dimensiones atribuidas al espacio por el sentido común suelen designarse como la longitud, la anchura y la altura. Ellas exteriorizan⁷ y objetivan⁸ el referente trirrectángulo del cuerpo humano⁹ (dirección prospectiva delante-detrás, dirección lateral derecha-izquierda, dirección vertical arriba-abajo) (Hammad, 1985). Se adaptan bien a la descripción de los campos irrigables en la llanura, de las salas rectangulares y de las casas en forma de paralelepípedo. Pero presentan un problema cuando se trata de describir las formas orgánicas, la morfología de una cadena montañosa, la del globo terrestre o los arcos y las bóvedas de una catedral gótica, sin mencionar la longitud del litoral de un país como Francia o Inglaterra (Mandelbrot, 1975). Los técnicos siguieron midiendo de manera pragmática, con las aproximaciones necesarias. La cuestión de las dimensiones aritméticas se trasladó al álgebra, donde la potencia¹⁰ de una variable en una ecuación se designaba con el término dimensión de la ecuación.

A principios del siglo XIX, algunos geómetras tuvieron la idea de cuestionar uno de los axiomas de Euclides, que establece que sólo se puede trazar una paralela a una recta desde un punto situado fuera de dicha recta. Riemann supuso que podían trazarse varias paralelas. Con tal axioma, construyó una geometría coherente, sin contradicciones internas. No servía para describir el mundo del sentido común, pero sí para describir una esfera en la que los grandes círculos meridianos corresponden a las rectas paralelas del plano. Lobachevski supuso que no podía trazarse paralela alguna a esta recta y construyó otra geometría coherente, que no correspondía a ninguna realidad conocida en esa época. Una ebullición intelectual agitó la comunidad de los matemáticos: ya no había sólo una geometría, sino varias; estas geometrías no tenían por qué describir el mundo “real” del sentido común, bastaba con su coherencia interna. A mediados de siglo, la abundancia de geometrías se asemejaba a un bello desorden.

En 1871, para su lección inaugural en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Erlangen, Félix Klein pronunció un discurso memorable, conocido desde entonces como el Programa de Erlangen: hacía comparables las geometrías y ponía orden en su profusión. Para ello, las clasificaba por nivel de abstracción,¹¹ en función de los axiomas que admitían en su construcción. En el nivel más abstracto situaba la topología, que no reconoce en el espacio más que vecindades, continuidades, contigüidades y cortes. Si se introduce en ella la noción de línea recta, con alineaciones de puntos y haces de rectas, se construyen geometrías proyectivas. Si se introduce la noción de medida de distancia y de ángulo, se construyen geometrías métricas, de las que la de Euclides es una variante. La organización de conjunto de F. Klein (1871) no ha sido cuestionada desde su introducción. Medio siglo más tarde, Jean Piaget adoptó este orden lógico de las geometrías, lo proyectó sobre el eje temporal y demostró que correspondía al desarrollo cognitivo del niño y de su percepción del espacio (Piaget e Inhelder, 1972).

Retomemos la cuestión de las dimensiones. En el marco de la geometría euclidiana, se pueden medir distancias según las tres dimensiones (longitud, anchura y altura) y calcular magnitudes como superficies y volúmenes. ¿Se pueden reconocer en la geometría topológica y proyectiva dimensiones no medibles? La respuesta exige separar las nociones de distancia y de dimensión. Contrariamente a lo que podría dar a entender la etimología latina, según la cual dimensio se construye sobre metiri = medir, los matemáticos admiten dimensiones no métricas en los niveles topológico (Poincaré, 1908, pp. 55 y ss.) y proyectivo del espacio. Una superficie posee dos dimensiones no porque disponga de una longitud y una anchura, sino porque puede ser cortada en dos mediante una línea unidimensional. El espacio llamado natural posee tres dimensiones porque puede ser cortado en dos mediante una superficie bidimensional. En otras palabras, la noción de dimensión se disocia del sistema trirrectángulo corporal ligado a un sujeto observador humano, para objetivarse y definirse en un nivel más abstracto.

Esto lleva a distinguir las nociones de dimensión y de dirección. La dimensión de un espacio es una propiedad topológica del espacio considerado, intrínsecamente ligada a ese objeto particular. La dirección es una noción que presupone un sujeto observador delegado situado en dicho espacio, como presupone la noción de recta (que pasa por el sujeto observador). En términos semióticos, el sujeto observador presente en el espacio está desembragado por el sujeto analista y delegado para ser colocado en el espacio objeto. El sujeto cognitivo antropomorfo proyecta sobre los espacios que considera la noción de dirección, como la dirección prospectiva (que parte del sujeto hacia un “delante” cuya definición está ligada a la morfología del cuerpo humano), retrospectiva, lateral (en la cual se distingue derecha e izquierda mediante una designación arbitraria) y vertical. Esta última dirección está impuesta por la gravedad, es decir, por la interacción entre el sujeto observador y la tierra (u otro cuerpo astronómico), según las leyes de la gravedad. Es probable que una estrella de mar o un pulpo nadando en el océano tengan nociones direccionales diferentes, pero conserven la noción de dirección vertical impuesta por la gravedad (suponiendo que estos animales estén dotados de capacidades cognitivas) (Uexküll, 1965).

En 1820, el físico danés Ørsted observó un fenómeno electromagnético que lo sorprendió (Hammad, 1985). En aquella época, los dominios de la electricidad y el magnetismo eran poco conocidos, y los espíritus curiosos se entretenían con descargas electrostáticas. Ørsted había colocado la aguja de una brújula bajo un hilo de cobre conectado a los bornes de una pila de Volta. Cuando cerraba el circuito, la aguja de la brújula se desviaba. El fenómeno sorprendente era espacial: todo en el dispositivo era simétrico, pero el cierre del circuito creaba una disimetría con la desviación. Como la brújula es atraída por el norte, Ørsted intentó analizar el fenómeno remitiéndolo a la tierra, sin éxito. El inglés H. Davy tampoco tuvo éxito. Fue A. M. Ampère quien encontró la manera de predecir el sentido de la desviación, delegando un observador antropomorfo¹² en miniatura al nivel del hilo de cobre. Este observador distinguía sus pies de su cabeza, su derecha de su izquierda y dirigía su mirada. Dicho de otro modo, Ampère (analista enunciador) había enviado al espacio de la experiencia un sujeto delegado (desembragado en el enunciado), dotado de un referente tridimensional orientado homólogo al del sujeto analista. Inauguraba así un procedimiento que sería retomado por Faraday y por Einstein: el del observador delegado en el espacio físico estudiado. Lo que se analizaba era el espacio de la experiencia,¹³ considerado un microuniverso semántico.

El ámbito de la Física conoce otro uso del término dimensión, que implica un grado superior de abstracción. Robert Boyle, contemporáneo de Descartes, a través de sus experimentos de laboratorio, estableció la ley de los gases perfectos, que expresa mediante una ecuación matemática la relación estable entre el volumen de un gas y su presión:¹⁴ P1.V1 = P2.V2. En otras palabras, cuando se comprime un gas, su volumen disminuye proporcionalmente, y viceversa. Esta ley será generalizada para tener en cuenta las variaciones de temperatura, ya que el gas se calienta cuando se comprime, es decir: P1.V1/T1 = P2.V2/T2.

Las tres magnitudes P, V, T (Presión, Volumen, Temperatura) son llamadas dimensiones de la ecuación. Dicho de otro modo, son las dimensiones del espacio de descripción del gas perfecto. Pero el gas no es más que un caso particular, y todas las cuestiones de la física pueden tratarse de la misma manera: sus variables principales se denominan dimensiones, y su combinación formal en una ley matemática da lo que se llama la ecuación de las dimensiones.

En este uso, es el dominio de la materia el que se considera un espacio, y sus dimensiones pertinentes no son la longitud, la anchura o la altura del espacio del sentido común, sino las magnitudes físicas pertinentes (Presión, Volumen y Temperatura para un gas), determinadas por los experimentos de laboratorio. Ya no es más cuestión de geometría, la noción de espacio se ha vuelto abstracta y puede tener como dimensiones factores físicos con diversas cualidades descriptivas. El espacio considerado es un espacio de descripción, un microuniverso semántico, específico de un dominio científico dado.

En el ámbito de las ciencias sociales, los problemas son a menudo complejos, y cuesta saber cuáles son las variables pertinentes (o determinantes). En tal caso, se puede, a título exploratorio, considerar un gran número de variables (el mayor número posible, en función de los medios disponibles) reunidas dentro de un espacio de descripción provisional, y luego intentar reducir el número de variables (número de dimensiones del problema), eliminando las variables dependientes y conservando las variables independientes (Benzécri et al., 1973). De este modo, el razonamiento ulterior resultaría pertinente en primer lugar, y cómodo en segundo lugar, ya que la reducción pone la cuestión al alcance de los medios disponibles.

Este método se ha utilizado ampliamente en el análisis numérico desde que existen las computadoras. Muchas técnicas matemáticas han sido desarrolladas con este fin. A modo de ejemplo, describiremos una de forma simple. El cálculo vectorial representa las entidades variables y sus descriptores como una nube de puntos en un espacio de n dimensiones. El número n puede ser relativamente grande, pero está limitado por las capacidades de cálculo disponibles. Las técnicas de cálculo matricial (multiplicación de una matriz por su transpuesta) permiten simplificar la descripción eliminando los vectores dependientes que se reducen a cero, lo que deja subsistir únicamente los vectores principales, relativamente independientes entre sí, llamados vectores propios. La importancia relativa de los vectores está indicada por los valores propios que les corresponden. Al conservar sólo un pequeño número de vectores propios, se reduce el número inicial de variables y se disminuye el número de dimensiones del espacio considerado, que pasa de n a 2 o 3, es decir, a situaciones simples donde se puede estudiar la variación de una magnitud en función de la variación de una o dos más. Queda por interpretar semánticamente los vectores propios, que en general no corresponden a las primeras variables que han sido consideradas, sino que se asemejan a compuestos formados por un conjunto de variables relacionadas. Esta fase de interpretación no proviene del ámbito matemático, sino que exige un conocimiento profundo del dominio semántico descrito.

En el uso matemático que acabamos de resumir, el término dimensión tiene dos sentidos:

Por medio del cálculo, se ha transformado el espacio semántico considerado para reducir el número de dimensiones. Estas dimensiones construidas finales son relativamente independientes unas de otras. Esto proporciona una clave para el uso científico del término dimensión: las dimensiones pertinentes de un dominio son independientes entre sí, lo que enuncia en términos algebraicos un hecho que corresponde a las rupturas reconocidas en términos topológicos en la definición de las dimensiones del espacio según Poincaré y el Analysis Situs.

Volvamos a las ciencias sociales. Las isotopías “funcionales” identificadas por Georges Dumézil (1958 y 1966) y Émile Benveniste (1969) para describir las sociedades antiguas (función política, religiosa, militar, económica) parecen relativamente independientes unas de otras. Por lo tanto, pueden calificarse como dimensiones descriptivas. Recordemos que no todas las isotopías identificables en un corpus semántico son independientes ni son elegibles para el título de dimensión. A modo de ejemplo, la isotopía jurídica no está situada en el mismo nivel que las isotopías política, religiosa, militar o económica. En la medida en que presupone los conflictos económicos, la isotopía jurídica aparece como una variable dependiente. Presupone la isotopía militar en la medida en que la aplicación de las decisiones judiciales sólo es válida si existe una fuerza que la ejecute. Presupondría la isotopía religiosa si la religión legitimara las leyes, lo que ocurre en muchas culturas.

En suma, la noción de dimensión procede de una interpretación espacial de las formas de pensar y hacer en matemáticas (geometría, aritmética) y en ciencias físicas. Ha sido generalizada a todo dominio considerado un microuniverso semántico. No es propia de la semiótica del espacio ni de la semiolingüística. Es aplicable a la sociedad considerada como espacio social, oponible al espacio físico y dotada de dimensiones semánticas independientes de las del espacio físico (Hammad, 2021). Es importante verificar si las dimensiones son pertinentes para el dominio considerado e independientes entre sí.

El reconocimiento de dimensiones en un espacio descriptivo es un procedimiento de puesta en orden del dominio, para distinguir en él los descriptores principales de los secundarios. De ahí se pueden extraer categorías de clasificación taxonómica. Hasta el siglo XX sólo se utilizó un número entero de dimensiones en la descripción de los espacios. Sin embargo, la consideración de datos que manifiestan homotecias internas en diferentes escalas llevó a Benoît Mandelbrot (1975) a introducir las dimensiones fractales. Pero esa ya es otra historia.